CFD 控制方程：质量、动量、压力耦合与离散系统 / CFD Governing Equations, Pressure-Velocity Coupling, and Discretization
📅 创建时间：2026-07-20 🏷️ 标签：#CFD #NavierStokes #有限体积 #压力速度耦合 📚 前置知识：[[03-marine-fluid-physics]]
1. 质量守恒
流体不会凭空产生或消失。一般形式：
∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0对于密度不变的不可压缩流体：
∇·u = 0这意味着流入一个控制体的净质量流量必须等于流出的净质量流量。
2. 动量守恒
Navier-Stokes 方程可以理解为流体版本的牛顿第二定律：
质量 × 加速度 = 压力力 + 黏性力 + 体积力不可压缩牛顿流体形式：
ρ(∂u/∂t + u·∇u) = -∇p + μ∇²u + ρg各项含义：
∂u/∂t：局部时间变化u·∇u：流体运动造成的对流变化-∇p：压力梯度μ∇²u：黏性扩散ρg：重力等体积力
非线性主要来自对流项 u·∇u。
3. 为什么压力没有独立演化方程
不可压缩流动中，压力的作用是调整速度，使速度满足质量守恒。
求解器通常采用预测-校正思想：
先用旧压力预测速度
→ 预测速度一般不满足 ∇·u=0
→ 建立压力修正方程
→ 修正压力和速度
→ 重复直到守恒常见算法：
- SIMPLE：稳态压力-速度耦合
- PISO：瞬态计算常用
- PIMPLE：组合 SIMPLE 与 PISO 思想
4. 湍流平均后的方程
RANS 把速度分解成平均量和脉动量：
u = U + u'代入并平均后会出现雷诺应力：
-ρ overline(u'u')这个新未知量需要湍流模型封闭。k-ε、k-ω 等模型本质上是在建立额外输运方程和经验关系。
因此增加湍流模型意味着每个网格单元增加未知量和方程。
5. 相分数方程
自由液面 VOF 方法需要求解相分数：
∂α/∂t + ∇·(αu) = 0实际算法可能加入界面压缩项，以减少数值扩散。密度和黏度由相分数混合：
ρ = αρwater + (1-α)ρair
μ = αμwater + (1-α)μair水气密度差很大，使压力和界面计算更具挑战。
6. 有限体积离散
有限体积法对每个控制体积分：
∫V ∂φ/∂t dV + ∫S ρuφ·n dS
= ∫S Γ∇φ·n dS + ∫V Sφ dV通过高斯定理，体积内的散度转化为控制体表面的通量。
离散后，每个单元形成类似关系：
aP φP = Σ aN φN + bP：当前单元N：相邻单元aP：中心系数aN：邻居系数b：源项和边界贡献
对全部单元组装后得到稀疏线性系统：
Aφ = b7. 为什么矩阵是稀疏的
一个控制体通常只与相邻控制体直接耦合，而不是与全部网格单元耦合。
如果有一百万个单元，完整矩阵有 10¹² 个位置，但每行可能只有十几个非零项。
因此 CFD 使用稀疏存储，只保存：
- 非零数值
- 对应列索引
- 每行起始位置
8. 非线性迭代
对流系数依赖当前速度，湍流参数也依赖当前流场，因此一次线性求解不能完成整个问题。
给定旧流场
→ 更新离散系数
→ 求解速度方程
→ 求解压力方程
→ 修正通量
→ 求解湍流/相分数
→ 检查残差和监控量
→ 进入下一轮每一轮中又包含多个稀疏线性方程求解。
9. 时间离散
一阶隐式
稳定、鲁棒，但数值耗散较大。
二阶格式
时间精度更高，但可能更敏感，需要更好的初始场和时间步。
时间步还受到 Courant 数影响：
Co = u Δt / Δx网格越小、速度越高，允许的时间步通常越小。
10. 边界条件怎样进入矩阵
入口、出口、壁面、对称面并不只是在界面上显示一个图标，它们会改变离散方程：
- 指定值：Dirichlet 条件
- 指定梯度或通量：Neumann 条件
- 混合条件：Robin 条件
- 周期条件：把两个边界的未知量耦合
不合理的边界条件可能导致矩阵奇异、流量不守恒或非物理反射。
11. CFD 计算量来自哪里
总成本 ≈
网格单元数
× 每个时间步的外迭代次数
× 每轮方程数量
× 每个线性方程的迭代次数
× 每次稀疏矩阵操作成本因此降低成本可以从多个方向入手：
- 减少不必要网格
- 采用更好的初始场
- 选择更合适的离散格式
- 使用更有效的预条件器
- 降低不必要输出
- 并行计算
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